Nella circonferenza di diametro $\bar{BD}$ sono inscritti i triangoli $ABD$ e $BDC$ …..

Nella circonferenza di diametro  $\bar{BD}$  sono inscritti i triangoli  $ABD$  e  $BDC$ con  $A$  e  $C$  da parti opposte rispetto a $\bar{BD}$. Sia  $H$  la proiezione di  $C$  su $\bar{BD}$. Sapendo che   $\bar{AB} = 16 cm$  e che il rapporto sia tra $\bar{AD}$ e $\bar{BD}$ sia tra  $\bar{BH}$  e   $\bar{HD}$   è  $3/5$ trovare il perimetro di  $ABCD$.

Risoluzione

Abbiamo che:

$\bar{AB} = 16 cm $

$frac(\bar{AD})(\bar{BD}) = frac(\bar{BH})(\bar{HD}) = 3/5$

Consideriamo il triangolo  $ABD$ .

Chiamiamo il diametro  $ \bar{BD} = x $   e troviamo il valore del cateto  $ \bar{AD}$  in funzione di $x$, sapendo che il triangolo  $ ABD$   è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.

$ \bar{AD} = sqrt(\bar{BD} ^2 – \bar{AB} ^2) = sqrt(x^2 – 16^2)$

Sapendo ora che $ frac(\bar{AD})(\bar{BD}) = 3/5$  , sostituiamo a questa scrittura i valori trovati:

$ frac(sqrt(x^2 – 16^2))(x) = 3/5$

Posto $ x ≠ 0 $, risolviamo l’equazione e troviamo il valore di $x$:

$ (frac(sqrt(x^2 – 16^2))(x))^2 = (3/5)^2$

$ frac(x^2 – 16^2)(x^2) = 9/(25)$

$ frac(x^2 – 16^2)(x^2) – 9/(25) = 0$

$ frac(25 (x^2 – 256) – 9x^2)(25 x^2) = 0$

$ frac(25x^2 – 6400 – 9x^2)(25 x^2) = 0$

$ frac(16x^2 – 6400)(25 x^2) = 0$

$ 16x^2 – 6400 = 0$

$ 16x^2 = 6400$

$ x^2 = frac(6400)(16) = 400     to    x = ± 20 $

Non potendo accettare il valore negativo, poiché  $x$ è un segmento, accettiamo solo la soluzione positiva,  $x=20cm$.

Sappiamo quindi che:

$ \bar{BD} = 20 cm$

$ \bar{AD} = sqrt(x^2 – 16^2) = sqrt(400 – 256) = sqrt(144) = 12 cm $

Passiamo ora al triangolo  $BCD$  .

Sappiamo che :

$ frac(\bar{BH})(\bar{HD}) = 3/5    to    \bar{BH} = 3/5 \bar{HD} $

Poiché  $ \bar{BH} + \bar{HD} = \bar{BD} = 20 cm $  , possiamo scrivere che:

$  \bar{HD} + 3/5 \bar{HD} = 20 cm $

Risolviamo l’equazione e troviamo il valore del segmento $\bar{HD} $ :

$  frac(5 \bar{HD} + 3 \bar{HD})(5) = frac(100)(5) $

$  5 \bar{HD} + 3 \bar{HD}= 100$

$  8 \bar{HD} = 100     to    \bar{HD} = frac(100)(8) = frac(25)(2) $

Quindi:

$ \bar{BH} = 3/5 \bar{HD} = 3/5 * (25)/2 = (15)/2 $

Sapendo che anche il triangolo $BCD$  è rettangolo, perché inscritto anch’esso in una semicirconferenza, applichiamo il primo teorema di Euclide:

$\bar{BH} : \bar{BC} = \bar{BC} : \bar{BD} $

$ \bar{BC} ^2 = \bar{BH} * \bar{BD} = (15)/2 * 20 = 150     to    $

$ \bar{BC} = sqrt(150) = 5sqrt6 cm $

Con il teorema di Pitagora possiamo trovare il cateto  $\bar{CD}$ :

$\bar{CD} = sqrt(\bar{BD}^2 – \bar{BC}^2) = sqrt(20^2 – (5sqrt6)^2) =$

$ sqrt(400 – 150) = sqrt(250) = 5 sqrt(10) cm $

Determiniamo il perimetro di  $ABCD$:

$ P_(ABCD) = \bar{AB} + \bar{BC} + \bar{CD} + \bar{DA} = $

$ (16 + 5sqrt6 + 5 sqrt(10) + 12) = (28 + 5sqrt6 + 5 sqrt(10) + 12) cm $

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