Determinare per quale valore del parametro  $k$  la retta del fascio $(k – 1)x + 3 ky – 5k = 0 $  forma con il semiasse positivo delle ascisse: …

Determinare per quale valore del parametro  $k$  la retta del fascio

$(k – 1)x + 3 ky – 5k = 0 $

forma con il semiasse positivo delle ascisse:

1. un angolo di  $30°$;
2. un angolo di  $45°$;
3. un angolo di  $60°$;
4. un angolo $alpha$  tale che   $ cos(alpha) = – frac(1)(sqrt5) $

Svolgimento (1)

In questo caso, sappiamo che l’angolo in questione, che chiamiamo  $x$ , formato da una retta del fascio con il semiasse positivo delle ascisse misura  $30°$.

Poiché questo è un angolo noto, sappiamo le sue funzioni goniometriche:

$ cos(x) = cos(30°) = frac(sqrt3)(2) $

$ sin(x) = sin(30°) = frac(1)(2) $

$ tg(x) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac(1/2)(frac(sqrt3)(2)) = 1/2 * frac(2)(sqrt3) = frac(1)(sqrt3) = frac(sqrt3)(3) $

Sappiamo che la tangente dell’angolo corrisponde al coefficiente angolare della retta, quindi:

$ tg(x) = m $

Sapendo che il coefficiente angolare di una retta è dato dalla formula

$ m = – a/b $

ricaviamo il coefficiente angolare del fascio in funzione di  $k$ :

$ m = – frac(k – 1)(3k) $

Uguagliamo il valore della tangente al coefficiente angolare per trovare k:

$ – frac(k – 1)(3k)  = frac(sqrt3)(3) $

Poniamo  $k != 0$ :

$ – k + 1  = sqrt3 k $

$ – k + 1 – sqrt3 k = 0$

$  (1 + sqrt3) k – 1 = 0     to     k = frac(1)(1 + sqrt3) $

Razionalizziamo:

$ k = frac(1)(1 + sqrt3) * frac(1 – sqrt3)(1 – sqrt3) =  frac(1 – sqrt3)((1 + sqrt3)(1 – sqrt3)) = $

$ frac(1 – sqrt3)(1 – 3) =  frac(1 – sqrt3)(- 2) = frac(sqrt3 – 1)(2) $

Svolgimento (2)

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui l’angolo formato sia di  $45°$ :

$ cos(y) = cos(45°) = frac(sqrt2)(2) $

$ sin(y) = sin(45°) = frac(sqrt2)(2) $

$ tg(y) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(sqrt2)(2))(frac(sqrt2)(2)) = frac(sqrt2)(2) * frac(2)(sqrt2) = 1 $

$ tg(y) = m = – frac(k – 1)(3k) $

$ – frac(k – 1)(3k)  = 1$

$ – frac(k – 1)(3k)  – 1 = 0 $

$ – k + 1 – 3k = 0     to     k = 1/4 $

Svolgimento (3)

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui l’angolo formato sia di  $60°$ :

$ cos(gamma) = cos(60°) = frac(1)(2) $

$ sin(gamma) = sin(60°) = frac(sqrt3)(2) $

$ tg(gamma) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(sqrt3)(2))(frac(1)(2)) = frac(sqrt3)(2) * 2 = sqrt3 $

$ tg(gamma) = m = – frac(k – 1)(3k) $

$ – frac(k – 1)(3k)  = sqrt3 $

$ – frac(k – 1)(3k)  – sqrt3 = 0 $

$ – k + 1 – 3sqrt3 k = 0 $

$  (1 + 3sqrt3) k – 1 = 0      to     k = frac(1)(1 + 3sqrt3) $

Razionalizziamo:

$k = frac(1)(1 + 3sqrt3)  * frac(1 – 3sqrt3)(1 – 3sqrt3) = frac(1 – 3sqrt3)((1 + 3sqrt3)(1 – 3sqrt3)) = $

$ frac(1 – 3sqrt3)(1- 27) = frac(1 – 3sqrt3)(- 26) = frac(3sqrt3 – 1)(26) $

Svolgimento (4)

Troviamo ora il valore di  $k$  nel caso in cui l’angolo formato sia un angolo  $alpha$  tale che  $cos(alpha) = – frac(1)(sqrt5) $  . Troviamo il suo seno e la tangente:

$ sin(alpha) = sqrt(1 – cos^2(alpha)) = sqrt(1 – (- frac(1)(sqrt5))^2) = sqrt(1 – 1/5) = $

$ sqrt(4/5) = frac(2)(sqrt5) $

$ tg(alpha) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(2)(sqrt5))(-frac(1)(sqrt5)) = frac(2)(sqrt5) * (- sqrt5) = -2 $

Uguagliamo questo valore della tangente al coefficiente angolare del fascio:

$ – frac(k – 1)(3k) = -2 $

$ frac(k – 1)(3k) = 2 $

$ frac(k – 1)(3k) – 2 = 0 $

$ k – 1 – 6k = 0     to     k = – 1/5$

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