Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali: $ (frac(1)(tg(alpha)) + frac(1)(cotg(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 = frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2 $

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali:

$ (frac(1)(tg(alpha)) + frac(1)(cotg(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 = frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2 $

Svolgimento

Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$ ∃  tg(alpha)       to     alpha ≠ π/2 + kπ $

$ ∃  cotg(alpha)       to     alpha ≠ π + kπ $

$ cos(alpha) ≠ 0      to     alpha ≠ π/2+ kπ $

$ sin(alpha) ≠ 0      to     alpha ≠ π+ kπ $

Da cui: $alpha ≠ kπ/2 $

Procediamo trasformando tutto in seno e coseno; lavoriamo sull’espressione al primo membro:

$ (frac(1)( frac(sin(alpha))(cos(alpha)) ) + frac(1)(frac(cos(alpha))(sin(alpha)))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

$ ( frac(cos(alpha))(sin(alpha)) + frac(sin(alpha))(cos(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2  $

Calcoliamo il minimo comune multiplo dentro parentesi:

$ ( frac(cos(alpha)* cos(alpha) + sin(alpha) * sin(alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2  $

$ ( frac(cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

Svolgiamo il quadrato:

$ ( frac(cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin^2(alpha) + cos^2(alpha) + 2sin(alpha) cos(alpha))  $

Trasformiamo $sin^2(alpha)$ in  $1 – cos^2(alpha)$ :

$ ( frac(cos^2 (alpha) + 1 – cos^2(alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (1 – cos^2(alpha) + cos^2(alpha) + 2sin(alpha) cos(alpha))  $

$ ( frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (1 + 2sin(alpha) cos(alpha))  $

Moltiplichiamo:

$ (frac((1 + 2sin(alpha) cos(alpha)))(sin(alpha) cos(alpha)) )  $

Possiamo sdoppiare il primo membro:

$ frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + frac(2sin(alpha) cos(alpha))(sin(alpha) cos(alpha))  $

Semplificando otteniamo:

$ frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2  $

Essendo tale espressione uguale a quella del secondo membro, abbiamo ottenuto l’identità.

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