Due triangoli isosceli $ABC $ e $BCD$ hanno in comune la base $BC$ e i vertici $A$ e $D$ sono situati nello stesso semipiano di origine $BC$ , in modo che il triangolo $BCD$ sia contenuto in $ABC$ . Dimostra che la semiretta di origine $A$ e passante per $D$ è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.
Svolgimento
Consideriamo i triangoli $ADB$ e $ADC$; essi hanno:
- $AB = AC$ per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);
- $\hat{ABD} = \hat{ACD}$ perché differenze di angoli congruenti;
- $BD = CD$ per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);
Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $ADB$ e $ADC$ sono congruenti.
Essendo i due triangoli congruenti, si ha che $\hat{BAH} = \hat{CAH}$ e $\hat{ADB} = \hat{ADC}$.
Ora consideriamo i triangoli $DBH$ e $DCH$; possiamo affermare che $\hat{BHD} = \hat{CDH}$ perché angoli supplementari di angoli congruenti;
Abbiamo quindi dimostrato che la semiretta di origine $A$ e passante per $D$ è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.
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