Quattro semirette di origine $O$ si susseguono nell’ordine $a$ , $b$ , $c$, $d$ , e gli angoli $ad$ e $bc$ hanno la stessa bisettrice $s$ . Prendi su $a$ e $d$ rispettivamente i segmenti $OA = OD$ e su $b$ e $c$ rispettivamente i segmenti $OB = OC$.
Dimostra che $ac = bd$, $AB = CD$ e $AC = BD$.
Svolgimento
Consideriamo gli angoli $\hat{AOB}$ e $\hat{COD}$ . Essi sono congruenti perché opposti al vertice.
Ora consideriamo i triangoli $COD$ e $BOA$. Essi hanno:
- $DO = AO$ per ipotesi;
- $OC = BO$ per ipotesi;
- $ \hat{AOB} = \hat{COD}$ perché angoli opposti al vertice;
Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $COD$ e $BOA$ sono congruenti.
In particolare risulta che $AB = CD $ .
Di conseguenza $AC = BD$ perché somme di lati congruenti.
Gli angoli formati dalle rette $ac$ e $bd$ sono congruenti perché somme di angoli congruenti; si ha infatti che:
- $ \hat{AOB} = \hat{COD}$ perché angoli opposti al vertice;
- l’angolo $bc$ è congruente all’angolo $ad$ , anch’essi opposti al vertice.
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