Sono date cinque semirette $a$ , $b$, $c$ , $d$ , $e$, tutte di origine $O$ , formanti i quattro angoli congruenti $ab$, $bc$ , $cd$ , $de$. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti $A$, $B$ , $C$, $D$ , $E$ in modo che sia $OA = OB = OC = OD = OE $ .
Dimostra che $AC = CE $ e $AB = BC = CD = DE$.
Svolgimento
Consideriamo i triangoli $AOE$ e $AOB$. Essi hanno:
- $EO = BO$ per ipotesi;
- $AO$ in comune;
- $\hat{EOA} = \hat{AOB}$ per ipotesi;
Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOE$ e $AOB$ sono congruenti.
Possiamo dedurre quindi che $AE = AB$.
Seguiamo lo stesso ragionamento per i triangoli $BOC$, $COD$ e $DOE$, tutti tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente.
Abbiamo quindi dimostrato che $AB = BC = CD = DE = EA$.
Ora consideriamo i triangoli $AOC$ e $EOC$; essi hanno:
- $EO = AO $ per ipotesi;
- $OC$ in comune;
- $\hat{EOC} = \hat{AOC}$ perché somme di angoli congruenti;
Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOC$ e $EOC$ sono congruenti.
In particolare risulta che $AC = CE$.
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