Un razzo lanciato verso la luna si arresta nel punto in cui la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma verso opposti.
- In quale punto del segmento che unisce il centro della terra e il centro della Luna si trova il razzo?
Prima di tutto, riportiamo alcuni valori che potrebbero esserci utili nello svolgimento:
$M_T = 5,98 * 10^24 kg$
$M_L = 0,07 * 10^24 kg$
$d_(T,L) = 3,84 * 10^8 m$
Il razzo subisce due forze attrattive, quella della Luna e quella della Terra:
$F_T = G * frac(M_T * m_g)(d_T ^2) , F_L = G * frac(M_L * m_g)(d_L ^2)$
Sapendo che la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo, possiamo eguagliare le due formule:
$F_T = F_L$
Abbiamo quindi:
$ G * frac(M_T * m_g)(d_T ^2) = G * frac(M_L * m_g)(d_L ^2)$
Possiamo semplificare la costante di gravitazione universale e la massa del razzo:
$ frac(M_T )(d_T ^2) = frac(M_L)(d_L ^2)$
Conoscendo le due masse, possiamo trovare il rapporto fra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna:
$ frac(d_T ^2)(d_L ^2) = frac(M_T)(M_L)$
Si ricava:
$ frac(d_T)(d_L) = sqrt(frac(M_T)(M_L)) = sqrt(frac (5,98 * 10^24 kg)(0,07 * 10^24 kg)) = 9,24 $
Conoscendo la distanza Terra-Luna, possiamo impostare un sistema:
\( \begin{cases} \frac{d_T}{d_L} = 9,24 \\ d_T + d_L = 3,84 \cdot 10^8 m \end{cases} \)
Ricaviamo dalla prima equazione la distanza dalla Terra, poi sostituiamola alla seconda equazione:
\( \begin{cases}\ d_T =d_L \cdot 9,24 \\ 9,24 d_L + d_L = 3,84 \cdot 10^8 m \end{cases} \)
\( \begin{cases}\ d_T =d_L \cdot 9,24 \\ 10,24 d_L = 3,84 \cdot 10^8 m \end{cases} \)
\( \begin{cases}\ d_T =d_L \cdot 9,24 \\ d_L = \frac{3,84 \cdot 10^8 m}{10,24} = 0,375 \cdot 10^8 m \end{cases} \)
Possiamo ora ricavare anche l’altra distanza:
\( \begin{cases}\ d_T = 0,375 \cdot 10^8 \cdot 9,24 = 3,47 \cdot 10^8 m \\ d_L = 0,375 \cdot 10^8 m \end{cases} \)
Il razzo, quindi, si trova a $3,47 * 10^8 m$ dalla Terra e a $0,375 * 10^8 m$ dalla Luna.
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