In una giornata di inverno lasciamo all’aperto una bottiglia da 1,50 L, chiusa, che contiene aria alla pressione di 103 kPa. La bottiglia contiene $4,22 * 10^22$ molecole d’aria e il sistema formato da queste molecole può essere considerato un gas perfetto.
- Calcola l’energia cinetica media delle molecole d’aria dovuta al loro spostamento nella bottiglia.
- Calcola la temperatura dell’aria contenuta nella bottiglia.
Risoluzione quesito 1
Considerando la teoria cinetica dei gas, abbiamo la seguente formula:
$ pV = 2/3 N k_m $
Da questa formula possiamo ricavare l’energia cinetica media delle molecole:
$ 3pV = 2N k_m to k_m = frac(3pV)(2N)$
Prima di sostituire i valori numerici dobbiamo convertire i valori nelle giuste unità di misura:
$ p = 103 kPa = 103 * 10^3 Pa $
$ V = 1,50 L = 1,50 dm^3 = 1,50 * 10^3 m^(-3) $
Si ha quindi:
$k_m = frac(3 * 103 * 10^3 Pa * 1,50 * 10^3 m^(-3))(2 * 4,22 * 10^22) = 5,49 * 10^(-21) J $
Risoluzione quesito 2
Per calcolare la temperatura dell’aria all’interno della bottiglia, consideriamo l’equazione di stato dei gas perfetti:
$ pV = nRT$
dove n è il numero di moli.
Poiché noi abbiamo il numero di molecole contenute nella bottiglia possiamo sfruttare la formula
$ n = frac(N)(N_A)$
Sostituiamo questa formula all’equazione di stato dei gas perfetti:
$ pV = frac(N)(N_A) * RT$
Notiamo che la formula può essere scritta anche in questo modo:
$ pV = N frac(R)(N_A) * T$
Abbiamo quindi un quoziente fra due costanti, $frac(R)(N_A)$ che corrisponde alla costante di Boltzmann ( $k_B = 1,38 * 10^(-23) J/K$ ).
Quindi abbiamo: $ pV = N k_B T$
Possiamo ora ricavare la temperatura:
$ T = frac(pV)(Nk_B) = frac(103 * 10^3 Pa * 1,50 * 10^3 m^(-3))(4,22 * 10^22 * 1,38 * 10^(-23) J/K) = 2,65 * 10^2 K $
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