Semplifica le seguenti espressioni con i radicali :
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1)$
Svolgimento
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1)$
Poniamo le condizioni di esistenza: C.E:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{a – 1}{a + 1} ≥ 0 &\\
a^2 – 1 ≥ 0&
\end{array}\right.
$$
Cominciamo dalla prima disequazione:
$ frac(a – 1)(a + 1) ≥ 0$
$ N ≥ 0 to a – 1 ≥ 0 to a ≥ 1 $
$ D > 0 to a + 1 > 0 to a > – 1 $
Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
$ a < – 1 ∨ a ≥ 1 $
Passiamo alla seconda disequazione:
$ a^2 – 1 ≥ 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ a^2 – 1 = 0$
$ a^2 = 1 to a = ± 1$
Prendiamo come soluzioni l’intervallo che ha per estremi le radici dell’equazione associata:
$ a ≤ -1 ∨ a ≥ 1$
Il sistema sarà quindi:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
a < – 1 ∨ a ≥ 1 &\\
a ≤ -1 ∨ a ≥ 1&
\end{array}\right.
$$
Si ottiene: $ a < – 1 ∨ a ≥ 1 $
Semplifichiamo ora l’espressione:
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1) = $
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt((a + 1)(a – 1)) $
Portiamo sotto un’unica radice:
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1) * (a + 1)(a – 1) ) = $
$ sqrt((a – 1)(a – 1)) =$
$ sqrt((a – 1)^2)$
Dato che $a-1$ può essere sia positivo che negativo, dobbiamo portarlo fuori radice in valore assoluto:
$ sqrt((a – 1)^2) = | a – 1| $
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