Traccia la mediana $\bar{MN}$ del triangolo $ABC$, indica con $P$ il suo punto medio; la semiretta $\bar{BP}$ interseca il lato $\bar{AC}$ in $Q$. Dimostra che $\bar{CQ} = 2\bar{AQ}$ .
Risoluzione
Analizziamo i dati:
$\bar{AO} = \bar{OM}$
$\bar{CM} = \bar{MB}$
Per poter risolvere il problema ci è utile tracciare dal punto $M$ la parallela al segmento $\bar{BQ}$ che interseca il lato $\bar{AC}$ nel punto $K$.
Consideriamo i segmenti $\bar{AC}$ e $\bar{AM}$ e le parallele $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$ .
Sappiamo che a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra;
quindi, poiché $\bar{AO}= \bar{OM}$ , possiamo affermare che $\bar{AQ}= \bar{QK}$ .
Il problema chiede di dimostrare che $\bar{CQ}= 2 \bar{AQ}$ ; ci basterà quindi dimostrare che $\bar{QK}= \bar{CK}$ .
Prendiamo in considerazione i triangoli $CKM$ e $QCB$ .
Essi hanno:
- $ \hat{CKM}$ in comune;
- $ 2 \bar{CM}= \bar{CB}$ perché lati generati da una mediana;
- $ \hat{KMC} ≅ \hat{QBC} $ perché angoli corrispondenti generati dalle parallele $\bar{BQ}$ e $\bar{KM}$ e dalla trasversale $\bar{CB} $ .
Quindi, avendo due angoli congruenti e il lato fra essi compreso in proporzione, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli $CKM$ e $QCB$ sono simili.
Poiché i lati del triangolo $QCB$ sono doppi di quelli del triangolo $CKM$ , possiamo affermare che $\bar{QC} = 2 \bar{KC}$ , quindi $\bar{QK} = \bar{KC}$ .
Ora, poiché $\bar{QK}= \bar{KC} = \bar{AQ}$ , abbiamo dimostrato che $ \bar{CQ} = 2 \bar{AQ} $ .
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