Risolvere la seguente disequazione di quarto grado:
$ x^4 – 13x^2 + 36 < 0$
Svolgimento
Passiamo all’equazione associata:
$ x^4 – 13x^2 + 36 = 0$
In questo caso, è necessario un cambio di incognita; chiamiamo $ x^2 = y$ .
Avremmo quindi che:
$ y^2 – 13y + 36 = 0$
Troviamo le soluzioni con la formula $ y = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $
$ y = frac(- (-13) ± sqrt((-13)^2 – 4*36))(2) = frac(13 ± sqrt(169 – 144))(2) = $
$ frac(13 ± sqrt(25))(2) = frac(13 ± 5)(2) $
$ frac(13 + 5)(2) = 9 o frac(13 – 5)(2) = 4 $
Possiamo scrivere la disequazione come:
$ (y – 9)(y – 4) < 0 $
$ (x^2 – 9)(x^2 – 4) < 0 $
Risolviamo le singole disequazioni, passando per l’equazione associata:
$ x^2 – 9 > 0 $
$ x^2 – 9 = 0 $
$ x^2 = 9 to x = ± 3 $
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:
$ x < – 3 ∨ x > 3 $
Passiamo ora all’altra disequazione:
$ x^2 – 4 > 0 $
$ x^2 – 4 = 0 $
$ x^2 = 4 to x = ± 2 $
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:
$ x < – 2 ∨ x > 2 $
Passiamo allo studio del segno e determiniamo le soluzioni della disequazione:
Considerando che la disequazione iniziale è minore di zero, la soluzione sarà:
$ – 3 < x < – 2 ∨ 2 < x < 3 $
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