Un gas perfetto contiene $10,35 * 10^23$ molecole ed è sottoposto a un trasformazione ciclica composta da due isoterme (BC e DA) e da due isobare (AB e CD) come nella figura.
I valori del volume e della pressione negli stati B e D sono:
$V_B = 4,15 dm^3 , V_D = 1,04 dm^3 $
$p_B = 2,50 * 10^5 Pa , p_D = 1,52 * 10^5 Pa $
- Calcola il valore delle temperature $T_1$ e $T_2$ a cui avvengono le due trasformazioni isoterme.
- Calcola il valore del volume negli stati A e C della trasformazione.
Quesito 1
Per prima cosa, trasformiamo i valori del volume nella giusta unità di misura:
$V_B = 4,15 dm^3 = 4,15 * 10^(-3) m^3$
$ V_D = 1,04 dm^3 = 1,04 * 10^(-3) m^3$
Per calcolare la temperatura nei tratti in cui avviene la trasformazione isoterma consideriamo l’equazione di stato dei gas perfetti:
$pV = nRT$
dove n è il numero di moli.
Poiché noi abbiamo il numero di molecole possiamo sfruttare la formula
$ n = frac(N)(N_A) $
dove $N_A$ è il numero di Avogadro.
Sostituiamo questa formula all’equazione di stato dei gas perfetti:
$pV = frac(N)(N_A) RT$
Notiamo che la formula può essere scritta anche in questo modo:
$pV = N frac(R)(N_A) T$
Abbiamo quindi un quoziente fra due costanti: $frac(R)(N_A)$ che corrisponde alla costante di Boltzmann ( $k_B = 1,38 * 10^(-23) J/K $):
$pV = N k_B T$
Sostituiamo la pressione e il volume nel punto B per calcolare la temperatura a cui avviene la trasformazione nel tratto BC:
$p_B V_B = N k_B T_(BC) to T_(BC) = frac(p_B V_B)(N k_B)$
Quindi abbiamo:
$T_(BC) = frac(2,50 * 10^5 Pa * 4,15 * 10^(-3) m^3 )(10,35 * 10^23 * 1,38 * 10^(-23) J/K) = 72,6 K$
Allo stesso modo calcoliamo la temperature nel tratto DA:
$p_D V_D = N k_B T_(DA) to T_(DA) = frac(p_D V_D)(N k_B)$
$T_(BC) = frac(1,52 * 10^5 Pa * 1,04 * 10^(-3) m^3 )(10,35 * 10^23 * 1,38 * 10^(-23) J/K) = 11,1 K$
Quesito 2
Per calcolare il volume negli stati A e C consideriamo che le trasformazioni nei tratti BC e AD sono isoterme, cioè a temperatura costante. Possiamo quindi utilizzare la legge di Boyle:
$p_0 V_0 = pV to V = frac(p_0 V_0)(p)$
Quindi: $ V_C = frac(p_B V_B)(p_C)$
Poiché nel tratto CD la pressione è costante, la pressione nello stato c è uguale a quella nello stato D.
$ V_C = frac(2,50 * 10^5 Pa * 4,15 * 10^(-3) m^3)(1,52 * 10^5 Pa) = 6,83 * 10^(-3) m^3$
Allo stesso modo calcoliamo il volume nello stato A, tenendo presente che la pressione in quello stato è uguale a quella nel punto B:
$ V_A = frac(p_D V_D)(p_A)$
$ V_A = frac(1,52 * 10^5 Pa * 1,04 * 10^(-3) m^3)(2,50 * 10^5 Pa) = 6,32 * 10^(-4) m^3$
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