Un pattinatore scende lungo una discesa, percorre poi un tratto orizzontale di 10 m e risale lungo una salita. Parte da un’altezza di 4,o m con una velocità iniziale di 4,2 m/s. Supponi che gli attriti siano trascurabili.
- A quale altezza arriva il pattinatore lungo la salita?
- L’altezza a cui arriva dipende dalla lunghezza del tratto orizzontale di raccordo?
Primo quesito
Per risolvere il problema, teniamo presente che in un sistema soggetto alla forza-peso, in assenza di attriti, l’energia meccanica totale (energia cinetica + energia potenziale) si conserva, cioè rimane sempre uguale.
Sappiamo quindi che l’energia del pattinatore che si trova nel punto A (il punto di partenza) sarà uguale a quella che avrà nel punto B (il punto di arrivo). In base a questo possiamo impostare il problema:
$E_A = E_B to U_A + K_A = U_B + K_B $
Nel punto A il pattinatore possiede una certa energia potenziale, perché si trova ad un’altezza di 4,0 m (abbiamo scelto arbitrariamente il livello 0 dell’energia potenziale quello del tratto in piano), e un energia cinetica, poiché ha una velocità iniziale di 4,2 m/s.
Nel punto B il pattinatore possiede energia potenziale perché si trova ad una certa altezza, ma non possiede energia cinetica. Infatti, la massima altezza viene raggiunta nel momento in cui il pattinatore rimane sospeso, ed è quindi fermo; è l’attimo prima dell’inizio della sua discesa.
$ U_A + K_A = U_B $
Sostituiamo le formule:
$mgh_A + 1/2 mv_a ^2 = mgh_B$
Possiamo semplificare la massa, che è trascurabile; svolgiamo poi il minimo comune multiplo e ricaviamo l’altezza in B:
$gh_A + 1/2 v_a ^2 = gh_B$
$2gh_A + v_a ^2 = 2gh_B to h_B = frac(2gh_A + v_a ^2)(2g)$
Sostituiamo ora i valori numerici:
$ h_B = frac(2 * 9,8 m/s^2 * 4,0 m + (4,2 m/s)^2)(2 * 9,8 m/s^2) = frac(96,04 m^2/s^2)(19,6 m/s^2) = 4,9 m$
Secondo quesito
Possiamo affermare che l’altezza alla quale arriva il pattinatore non dipende dal tratto orizzontale, ma solo perché abbiamo supposto che l’attrito sia trascurabile.
In presenza di attrito, infatti, il tratto orizzontale avrebbe rallentato il pattinatore, diminuendo così l’altezza massima da lui raggiungibile.
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