Verificare che la relazione ℜ da Ζ a Z definita da xℜy ⇔ x ha lo stesso numero di cifre di y è una relazione di equivalenza.
Verifica se la corrispondenza che a un numero associa il numero delle cifre di cui è composto è una funzione, se questa funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Risoluzione
Una relazione si dice di equivalenza se gode della proprietà transitiva, simmetrica e riflessiva.
La relazione ℜ da Ζ a Z definita da ” xℜy ⇔ x ha lo stesso numero di cifre di y ” gode della proprietà transitiva; se x ha lo stesso numero di cifre di y, e y ha lo stesso numero di cifre di z, allora possiamo affermare che z ha lo stesso numero di cifre di x;
E’ verificata anche la proprietà simmetrica, poiché se x ha lo stesso numero di cifre di y, anche y ha lo stesso numero di cifre di x.
Vale anche la proprietà riflessiva, poiché è possibile affermare che x ha lo stesso numero di cifre di se stesso.
Per questi motivi, la relazione è una relazione di equivalenza.
Una relazione fra due insiemi si dice funzione se ogni elemento di un insieme è in relazione con uno e un solo elemento dell’altro.
In questo caso, abbiamo un insieme composto da numeri relativi, e un altro insieme composto da numeri (sempre relativi) che esprimono il numero di cifre dei numeri dell’altro insieme. La relazione è quindi una funzione; ad un numero, infatti, viene associata una ed una sola quantità di cifre (al numero 20 corrispondono solo 2 cifre).
Valutiamo, quindi, se la funzione è iniettiva, suriettiva e biiettiva.
Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti corrispondono immagini distinte, cioè se
$ ∀ x_1 , x_2 ∈ Z , x_1 ≠ x_2 ⇒ f (x_1) ≠ f (x_2) $
Poiché esistono più numeri che hanno lo stesso numero di cifre (10, 11, 15, 20, 56… hanno tutti due cifre), possiamo affermare che la funzione non è iniettiva.
Una funzione è suriettiva se il codominio coincide con l’insieme di arrivo, cioè se ogni elemento dell’insieme di arrivo è un’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza. Di conseguenza, la nostra funzione è suriettiva.
La funzione non è però biiettiva; per esserlo sarebbe dovuta essere sia iniettiva che suriettiva, mentre gode solo di quest’ultima proprietà.
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